复数的对数
ln z = ln r + ( φ+ 2kπ) i
解释
你把一个极坐标的复数写成 z = r · eiφ。如果我们假设这个对数产生的复数 x + i y 是，那么你就会得到
其中
以致于
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
复数的对数有无限多个值，这些值的实部 ln r 都相同，虚部彼此相差 2π 的倍数。
对于 k = 0，你可以得到原理支。
例1
负数是复数的一种特殊情况。因此 z = −1 是半径为 r = 1 的单位圆上的复数，半圆旋转 φ = π。对数 的 −1 的本金值为
ln (−1) = ln (1) + πi = πi